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integral of sqrt(15-14x-x^2)

Lösung

\int 15 - 14 x - x^{2} d x

32 (arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)))) + C

Schritte zur Lösung

\int 15 - 14 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

15 - 14 x - x^{2} : - (x + 7)^{2} + 64

= \int - (x + 7)^{2} + 64 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 64 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 64 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 64 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 64 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 64 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 64 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x + 7))))

Vereinfache

64 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)))) : 32 (arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x + 7))))

= 32 (arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x + 7))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 32 (arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{8} (x + 7)))) + C

(y + x^{3} + x y^{2}) d x - (x) d y = 0

\int \frac{18}{( 1 - x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

n = 0 \sum \infty \frac{5 ^{n + 1}}{4 ^{n} ( 3 n - 1 ) !}

x \to 4 lim (- \frac{1}{x ^{\frac{3}{2}}})

\int e^{- x} 2 x d x