integral of e^{3x}(1+e^{3x})^7

解答

\int e^{3 x} (1 + e^{3 x})^{7} d x

\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{7}{6} e^{6 x} + \frac{7}{3} e^{9 x} + \frac{35}{12} e^{12 x} + \frac{7}{3} e^{15 x} + \frac{7}{6} e^{18 x} + \frac{1}{3} e^{21 x} + \frac{1}{24} e^{24 x} + C

求解步骤

\int e^{3 x} (1 + e^{3 x})^{7} d x

乘开

e^{3 x} (1 + e^{3 x})^{7} : e^{3 x} + 7 e^{6 x} + 21 e^{9 x} + 35 e^{12 x} + 35 e^{15 x} + 21 e^{18 x} + 7 e^{21 x} + e^{24 x}

= \int e^{3 x} + 7 e^{6 x} + 21 e^{9 x} + 35 e^{12 x} + 35 e^{15 x} + 21 e^{18 x} + 7 e^{21 x} + e^{24 x} d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int e^{3 x} d x + \int 7 e^{6 x} d x + \int 21 e^{9 x} d x + \int 35 e^{12 x} d x + \int 35 e^{15 x} d x + \int 21 e^{18 x} d x + \int 7 e^{21 x} d x + \int e^{24 x} d x

\int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} e^{3 x}

\int 7 e^{6 x} d x = \frac{7}{6} e^{6 x}

\int 21 e^{9 x} d x = \frac{7}{3} e^{9 x}

\int 35 e^{12 x} d x = \frac{35}{12} e^{12 x}

\int 35 e^{15 x} d x = \frac{7}{3} e^{15 x}

\int 21 e^{18 x} d x = \frac{7}{6} e^{18 x}

\int 7 e^{21 x} d x = \frac{1}{3} e^{21 x}

\int e^{24 x} d x = \frac{1}{24} e^{24 x}

= \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{7}{6} e^{6 x} + \frac{7}{3} e^{9 x} + \frac{35}{12} e^{12 x} + \frac{7}{3} e^{15 x} + \frac{7}{6} e^{18 x} + \frac{1}{3} e^{21 x} + \frac{1}{24} e^{24 x}

解答补常数

= \frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{7}{6} e^{6 x} + \frac{7}{3} e^{9 x} + \frac{35}{12} e^{12 x} + \frac{7}{3} e^{15 x} + \frac{7}{6} e^{18 x} + \frac{1}{3} e^{21 x} + \frac{1}{24} e^{24 x} + C

\int x^{\frac{2}{3}} + x d x

\int_{- 6}^{5} x^{2} - 3 x - 4 d x

t a y l or cos^{2} (x)

\int \frac{x ^{2}}{( x ^{2} + 16 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{6 x}{y ^{2}})