integral of (3t+t^2)sin(3t)

解

\int (3 t + t^{2}) sin (3 t) d t

- t cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t) - \frac{1}{3} t^{2} cos (3 t) + \frac{2}{27} (3 t sin (3 t) + cos (3 t)) + C

解答ステップ

\int (3 t + t^{2}) sin (3 t) d t

拡張

(3 t + t^{2}) sin (3 t) : 3 t sin (3 t) + t^{2} sin (3 t)

= \int 3 t sin (3 t) + t^{2} sin (3 t) d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 3 t sin (3 t) d t + \int t^{2} sin (3 t) d t

\int 3 t sin (3 t) d t = - t cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t)

\int t^{2} sin (3 t) d t = - \frac{1}{3} t^{2} cos (3 t) + \frac{2}{27} (3 t sin (3 t) + cos (3 t))

= - t cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t) - \frac{1}{3} t^{2} cos (3 t) + \frac{2}{27} (3 t sin (3 t) + cos (3 t))

定数を解答に追加する

= - t cos (3 t) + \frac{1}{3} sin (3 t) - \frac{1}{3} t^{2} cos (3 t) + \frac{2}{27} (3 t sin (3 t) + cos (3 t)) + C