integral de 1/((x^2+y^2+z^2)^{3/2)}

Solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{sec ( u ) ( y ^{2} + z ^{2} )} d u

= \int \frac{1}{sec ( u ) ( y ^{2} + z ^{2} )} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} \cdot \int cos (u) d u

Aplicar la regla de integración:

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} sin (u)

Sustituir en la ecuación

u = arctan (\frac{1}{( y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} x)

= \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{( y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} x))

Simplificar

\frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} sin (arctan (\frac{1}{( y ^{2} + z ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} x)) : \frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Agregar una constante a la solución

= \frac{x}{( y ^{2} + z ^{2} ) ( y ^{2} + z ^{2} + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{4 x ^{2} + x + 27}{x ^{3} + 9 x} d x

\frac{\partial}{\partial x} (2 x^{2} - 7 y^{9} - 4)

e^{x} sin (x) + e^{x} cos (x)

\int y y^{2} + 1 d y

x \to 3 lim (2 x + 4)