inverselaplace ((s-1))/(s^2(s^2+2))

解

逆ラプラス

\frac{( s - 1 )}{s ^{2} ( s ^{2} + 2 )}

\frac{1}{2} H (t) - \frac{t}{2} - \frac{1}{2} cos (2 t) + \frac{1}{2 2} sin (2 t)

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{( s - 1 )}{s ^{2} ( s ^{2} + 2 )}}

以下の部分分数を得る:

\frac{s - 1}{s ^{2} ( s ^{2} + 2 )} : \frac{1}{2 s} - \frac{1}{2 s ^{2}} + \frac{- s + 1}{2 ( s ^{2} + 2 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{2 s} - \frac{1}{2 s ^{2}} + \frac{- s + 1}{2 ( s ^{2} + 2 )}}

拡張

= L^{- 1} {- \frac{s}{2 ( s ^{2} + 2 )} + \frac{1}{2 s} + \frac{1}{2 ( s ^{2} + 2 )} - \frac{1}{2 s ^{2}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{s}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} - \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 2}} + \frac{1}{2} L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{s}} : H (t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2}}} : t

L^{- 1} {\frac{s}{s ^{2} + 2}} : cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{s ^{2} + 2}} : \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} cos (2 t) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} sin (2 t)

改良

\frac{1}{2} H (t) - \frac{1}{2} t - \frac{1}{2} cos (2 t) + \frac{1}{2} \frac{1}{2} sin (2 t) : \frac{1}{2} H (t) - \frac{t}{2} - \frac{1}{2} cos (2 t) + \frac{1}{2 2} sin (2 t)

= \frac{1}{2} H (t) - \frac{t}{2} - \frac{1}{2} cos (2 t) + \frac{1}{2 2} sin (2 t)