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人気のある微分積分 >

integral of sin^7(θ)cos^5(θ)

解

\int sin^{7} (θ) cos^{5} (θ) d θ

解

- \frac{cos ^{6} ( θ )}{6} + \frac{3 cos ^{8} ( θ )}{8} - \frac{3 cos ^{10} ( θ )}{10} + \frac{cos ^{12} ( θ )}{12} + C

解答ステップ

\int sin^{7} (θ) cos^{5} (θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int (1 - cos^{2} (θ))^{3} sin (θ) cos^{5} (θ) d θ

u置換積分法を適用する

= \int - u^{5} (1 - u^{2})^{3} d u

拡張

- u^{5} (1 - u^{2})^{3} : - u^{5} + 3 u^{7} - 3 u^{9} + u^{11}

= \int - u^{5} + 3 u^{7} - 3 u^{9} + u^{11} d u

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \int u^{5} d u + \int 3 u^{7} d u - \int 3 u^{9} d u + \int u^{11} d u

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

\int 3 u^{7} d u = \frac{3 u ^{8}}{8}

\int 3 u^{9} d u = \frac{3 u ^{10}}{10}

\int u^{11} d u = \frac{u ^{12}}{12}

= - \frac{u ^{6}}{6} + \frac{3 u ^{8}}{8} - \frac{3 u ^{10}}{10} + \frac{u ^{12}}{12}

代用を戻す

u = cos (θ)

= - \frac{cos ^{6} ( θ )}{6} + \frac{3 cos ^{8} ( θ )}{8} - \frac{3 cos ^{10} ( θ )}{10} + \frac{cos ^{12} ( θ )}{12}

定数を解答に追加する

= - \frac{cos ^{6} ( θ )}{6} + \frac{3 cos ^{8} ( θ )}{8} - \frac{3 cos ^{10} ( θ )}{10} + \frac{cos ^{12} ( θ )}{12} + C

グラフ

人気の例

tangent f(x)=5xe^x,\at x=0

t an g e n t f (x) = 5 x e^{x}, at x = 0

derivative of (3x^5-7x^2-4/(x^2))

\frac{d}{d x} (\frac{3 x ^{5} - 7 x ^{2} - 4}{x ^{2}})

derivative sin(1/(x^2+1))

d er i v a t i v e sin (\frac{1}{x ^{2} + 1})

derivative (sin(x)-x)/(x^2)

d er i v a t i v e \frac{sin ( x ) - x}{x ^{2}}

(-2xy2-1y)dx+(-2x2y+1x)dy=0

(- 2 x y 2 - 1 y) d x + (- 2 x 2 y + 1 x) d y = 0