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人気のある微分積分 >

integral of (e^t)/(e^{2t)+3e^t+2}

解

\int \frac{e ^{t}}{e ^{2 t} + 3 e ^{t} + 2} d t

解

- ln 2 e^{t} + 4 + ln 2 e^{t} + 2 + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{t}}{e ^{2 t} + 3 e ^{t} + 2} d t

u置換積分法を適用する

= \int \frac{1}{u ^{2} + 3 u + 2} d u

平方完成する

u^{2} + 3 u + 2 : (u + \frac{3}{2})^{2} - \frac{1}{4}

= \int \frac{1}{( u + \frac{3}{2} ) ^{2} - \frac{1}{4}} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{4}{4 v ^{2} - 1} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} - 1} d v

因数

4 v^{2} - 1 : - (- 4 v^{2} + 1)

= 4 \cdot \int \frac{1}{- ( - 4 v ^{2} + 1 )} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 (- \int \frac{1}{- 4 v ^{2} + 1} d v)

置換積分法を適用する

= 4 (- \int \frac{1}{2 ( - w ^{2} + 1 )} d w)

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 (- \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 4 (- \frac{1}{2} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

代用を戻す

= 4 (- \frac{1}{2} (\frac{ln 2 ( e ^{t} + \frac{3}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln 2 ( e ^{t} + \frac{3}{2} ) - 1}{2}))

簡素化

4 (- \frac{1}{2} (\frac{ln 2 ( e ^{t} + \frac{3}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln 2 ( e ^{t} + \frac{3}{2} ) - 1}{2})) : - ln 2 e^{t} + 4 + ln 2 e^{t} + 2

= - ln 2 e^{t} + 4 + ln 2 e^{t} + 2

定数を解答に追加する

= - ln 2 e^{t} + 4 + ln 2 e^{t} + 2 + C

グラフ

人気の例

integral from sqrt(y) to 2 of 3/16 xy

\int_{y}^{2} \frac{3}{16} x y d x

tangent sqrt(x^2+21),\at x=2

t an g e n t x^{2} + 21, at x = 2

limit as x approaches 1 of (4x-4)/(x-1)

x \to 1 lim (\frac{4 x - 4}{x - 1})

integral of 16xsin(x)

\int 16 x sin (x) d x

テイラー (1+x)/(1-x)

t a y l or \frac{1 + x}{1 - x}