integral of (e^x)/(e^{2x)-2e^x-3}

解

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 2 e ^{x} - 3} d x

- \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C

解答ステップ

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 2 e ^{x} - 3} d x

以下の部分分数を得る:

\frac{e ^{x}}{e ^{2 x} - 2 e ^{x} - 3} : \frac{1}{4 ( e ^{x} + 1 )} + \frac{3}{4 ( e ^{x} - 3 )}

= \int \frac{1}{4 ( e ^{x} + 1 )} + \frac{3}{4 ( e ^{x} - 3 )} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{4 ( e ^{x} + 1 )} d x + \int \frac{3}{4 ( e ^{x} - 3 )} d x

\int \frac{1}{4 ( e ^{x} + 1 )} d x = \frac{1}{4} (- ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + x)

\int \frac{3}{4 ( e ^{x} - 3 )} d x = \frac{1}{4} (- x + ln ∣ e^{x} - 3 ∣)

= \frac{1}{4} (- ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + x) + \frac{1}{4} (- x + ln ∣ e^{x} - 3 ∣)

簡素化

\frac{1}{4} (- ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + x) + \frac{1}{4} (- x + ln ∣ e^{x} - 3 ∣) : - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

= - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 3 ∣

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + \frac{1}{4} ln ∣ e^{x} - 3 ∣ + C