integral of (xe^x)/((1+e^x)^2)

Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x

- \frac{x}{1 + e ^{x}} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x e ^{x}}{( 1 + e ^{x} ) ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{ln ( u )}{( 1 + u ) ^{2}} d u

Wende die partielle Integration an

= - \frac{ln ( u )}{1 + u} - \int - \frac{1}{u ( 1 + u )} d u

\int - \frac{1}{u ( 1 + u )} d u = - ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣

= - \frac{ln ( u )}{1 + u} - (- ln ∣ u ∣ + ln ∣ u + 1 ∣)

Setze in

u = e^{x}

ein

= - \frac{ln ( e ^{x} )}{1 + e ^{x}} - (- ln ∣ e^{x} ∣ + ln ∣ e^{x} + 1 ∣)

Vereinfache

- \frac{ln ( e ^{x} )}{1 + e ^{x}} - (- ln ∣ e^{x} ∣ + ln ∣ e^{x} + 1 ∣) : - \frac{x}{1 + e ^{x}} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

= - \frac{x}{1 + e ^{x}} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{x}{1 + e ^{x}} + x - ln ∣ e^{x} + 1 ∣ + C

\int (e^{2 x} + \frac{1}{1 - x}) d x

\int \frac{1}{- 4 x ^{2} - 20 x - 21} d x

\int \frac{3 x ^{4} + 2 x ^{2}}{x ^{2} + 1} d x

\int x cos (\frac{π}{4} x) d x

\int \frac{ln ( 1 + x )}{x} d x