integral de 1/(sqrt((x^2+4x+7)^3))

Solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{3}} d x

\frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7} + C

Pasos de solución

\int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{3}} d x

(x^{2} + 4 x + 7)^{3} = (x^{2} + 4 x + 7)^{\frac{3}{2}},

asumiendo que

(x^{2} + 4 x + 7) \geq 0

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 4 x + 7 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Completar el cuadrado

x^{2} + 4 x + 7 : (x + 2)^{2} + 3

= \int \frac{1}{( ( x + 2 ) ^{2} + 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{1}{( u ^{2} + 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

= \int \frac{1}{( u ^{2} + 3 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Aplicar integración por sustitución trigonométrica

: \int \frac{1}{3 sec ( v )} d v

= \int \frac{1}{3 sec ( v )} d v

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{sec ( v )} d v

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= \frac{1}{3} \cdot \int cos (v) d v

Aplicar la regla de integración:

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{3} sin (v)

Sustitución hacia atrás

= \frac{1}{3} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 2)))

Simplificar

\frac{1}{3} sin (arctan (\frac{1}{3} (x + 2))) : \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7}

= \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7}

Agregar una constante a la solución

= \frac{x + 2}{3 x ^{2} + 4 x + 7} + C

\int (e^{\frac{x}{2}} - x) (e^{\frac{x}{2}} + x) d x

\frac{1}{1 + x ^{2}}

\int \frac{x}{36 x ^{4} + 9} d x

\int \frac{3 x}{1 + x} d x