integral of (x^2)/(sqrt(x^2+5))

Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 5} d x

5 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} (5 + x^{2}) + \frac{1}{10} x 5 + x^{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 5} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 5 tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 5 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= 5 \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= 5 (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{5} x)

ein

= 5 (- ln tan (arctan (\frac{1}{5} x)) + sec (arctan (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{5} x)) tan (arctan (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{5} x)) + sec (arctan (\frac{1}{5} x)))

Vereinfache

5 (- ln tan (arctan (\frac{1}{5} x)) + sec (arctan (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{2} sec (arctan (\frac{1}{5} x)) tan (arctan (\frac{1}{5} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arctan (\frac{1}{5} x)) + sec (arctan (\frac{1}{5} x))) : 5 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} (5 + x^{2}) + \frac{1}{10} x 5 + x^{2})

= 5 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} (5 + x^{2}) + \frac{1}{10} x 5 + x^{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 5 (- \frac{1}{2} ln \frac{1}{5} x + \frac{1}{5} (5 + x^{2}) + \frac{1}{10} x 5 + x^{2}) + C

\int \frac{e ^{3 x}}{2 x} d x

\int sec^{\frac{3}{2}} (x) tan (x) d x

\int 8 x e^{4 x} d x

\int \frac{3}{3 x + 5} d x

\int \frac{1}{5 - 3 x ^{2}} d x