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integral of 1/(2sin(x)+3cos(x))

Lösung

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + 3 cos ( x )} d x

\frac{1}{13} (ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} + 1 - ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{2 sin ( x ) + 3 cos ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{4 u + 3 ( 1 - u ^{2} )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{4 u + 3 ( 1 - u ^{2} )} d u

Vervollständige das Quadrat

4 u + 3 (1 - u^{2}) : - 3 (u - \frac{2}{3})^{2} + \frac{13}{3}

= 2 \cdot \int \frac{1}{- 3 ( u - \frac{2}{3} ) ^{2} + \frac{13}{3}} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{3}{- 9 v ^{2} + 13} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 3 \cdot \int \frac{1}{- 9 v ^{2} + 13} d v

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot 3 \cdot \int \frac{1}{3 13 ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 13} \cdot \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 13} (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 13} \frac{ln \frac{3}{13} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{2}{3} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{3}{13} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{2}{3} ) - 1}{2}

Vereinfache

2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3 13} \frac{ln \frac{3}{13} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{2}{3} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{3}{13} ( tan ( \frac{x}{2} ) - \frac{2}{3} ) - 1}{2} : \frac{1}{13} (ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} + 1 - ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} - 1)

= \frac{1}{13} (ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} + 1 - ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{13} (ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} + 1 - ln \frac{3 tan ( \frac{x}{2} ) - 2}{13} - 1) + C

\int t t^{2} + 1 d t

\int \frac{( 1 - x )}{( 1 + x )} d x

\int \frac{x ^{3}}{sec ( 3 x )} d x

\int \frac{1 - ln ( x )}{x ^{2}} d x

\int \frac{x ^{5} - x}{x ^{8} + 1} d x