integral of 3x^2*ln(x^2+3)

解

\int 3 x^{2} \cdot ln (x^{2} + 3) d x

x^{3} ln (x^{2} + 3) - \frac{2 x ^{3}}{3} + 6 x - 63 arctan (\frac{x}{3}) + C

解答ステップ

\int 3 x^{2} ln (x^{2} + 3) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int x^{2} ln (x^{2} + 3) d x

部分積分を適用する

= 3 (\frac{1}{3} x^{3} ln (x^{2} + 3) - \int \frac{2 x ^{4}}{3 ( x ^{2} + 3 )} d x)

\int \frac{2 x ^{4}}{3 ( x ^{2} + 3 )} d x = \frac{2 x ^{3}}{9} - 2 x + 23 arctan (\frac{x}{3})

= 3 (\frac{1}{3} x^{3} ln (x^{2} + 3) - (\frac{2 x ^{3}}{9} - 2 x + 23 arctan (\frac{x}{3})))

簡素化

3 (\frac{1}{3} x^{3} ln (x^{2} + 3) - (\frac{2 x ^{3}}{9} - 2 x + 23 arctan (\frac{x}{3}))) : x^{3} ln (x^{2} + 3) - \frac{2 x ^{3}}{3} + 6 x - 63 arctan (\frac{x}{3})

= x^{3} ln (x^{2} + 3) - \frac{2 x ^{3}}{3} + 6 x - 63 arctan (\frac{x}{3})

定数を解答に追加する

= x^{3} ln (x^{2} + 3) - \frac{2 x ^{3}}{3} + 6 x - 63 arctan (\frac{x}{3}) + C