integral of (a^xln(a))/(1+a^{2x)}

Lösung

\int \frac{a ^{x} ln ( a )}{1 + a ^{2 x}} d x

arctan (a^{x}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{a ^{x} ln ( a )}{1 + a ^{2 x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= ln (a) \cdot \int \frac{a ^{x}}{1 + a ^{2 x}} d x

Wende U-Substitution an

= ln (a) \cdot \int \frac{1}{2 a ^{\frac{l n ( u - 1 )}{2 l n ( a )}} u ln ( a )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= ln (a) \frac{1}{2 ln ( a )} \cdot \int \frac{1}{a ^{\frac{l n ( u - 1 )}{2 l n ( a )}} u} d u

Wende U-Substitution an

= ln (a) \frac{1}{2 ln ( a )} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= ln (a) \frac{1}{2 ln ( a )} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= ln (a) \frac{1}{2 ln ( a )} \cdot 2 arctan (v)

Ersetze zurück

= ln (a) \frac{1}{2 ln ( a )} \cdot 2 arctan (a^{\frac{l n ( 1 + a ^{2 x} - 1 )}{2 l n ( a )}})

Vereinfache

ln (a) \frac{1}{2 ln ( a )} \cdot 2 arctan (a^{\frac{l n ( 1 + a ^{2 x} - 1 )}{2 l n ( a )}}) : arctan (a^{x})

= arctan (a^{x})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= arctan (a^{x}) + C

\int cos (5 x - 2) d x

\int f (a x + b) d x

\int \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{2}} d x

\int \frac{1}{π} d x

\int \frac{x ^{2} + 9}{x ^{6}} d x