integral of cos(x)sin(x/2)

Lösung

\int cos (x) sin (\frac{x}{2}) d x

- \frac{1}{3} cos (\frac{3 x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) + C

Schritte zur Lösung

\int cos (x) sin (\frac{x}{2}) d x

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (t) sin (s) = \frac{sin ( s + t ) + sin ( s - t )}{2}

= \int \frac{sin ( \frac{x}{2} + x ) + sin ( \frac{x}{2} - x )}{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int sin (\frac{x}{2} + x) + sin (\frac{x}{2} - x) d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int 2 (sin (3 u) - sin (u)) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int sin (3 u) - sin (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 (\int sin (3 u) d u - \int sin (u) d u)

\int sin (3 u) d u = - \frac{1}{3} cos (3 u)

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{3} cos (3 u) - (- cos (u)))

Setze in

u = \frac{x}{2}

ein

= \frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{3} cos (3 \cdot \frac{x}{2}) - (- cos (\frac{x}{2})))

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 (- \frac{1}{3} cos (3 \cdot \frac{x}{2}) - (- cos (\frac{x}{2}))) : - \frac{1}{3} cos (\frac{3 x}{2}) + cos (\frac{x}{2})

= - \frac{1}{3} cos (\frac{3 x}{2}) + cos (\frac{x}{2})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} cos (\frac{3 x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) + C

\int \frac{x ^{2} - 4}{x ^{3} + 4 x} d x

\int (e^{2 y} - y cos (x y)) d x

\int e \cdot e^{- x} d x

\int x^{3} (5 + x^{4})^{6} d x

\int \frac{v ^{2}}{( 1 - v ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d v