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integral of (e^{4x})/(e^{3x)-1}

Lösung

\int \frac{e ^{4 x}}{e ^{3 x} - 1} d x

e^{x} + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{x} + 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{e ^{4 x}}{e ^{3 x} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{3 u + 1}{3 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{3 u + 1}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int \frac{3 v ^{3}}{v ^{3} - 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \int \frac{v ^{3}}{v ^{3} - 1} d v

Ermittle den Partialbruch von

\frac{v ^{3}}{v ^{3} - 1} : 1 + \frac{1}{3 ( v - 1 )} + \frac{- v - 2}{3 ( v ^{2} + v + 1 )}

= \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \int 1 + \frac{1}{3 ( v - 1 )} + \frac{- v - 2}{3 ( v ^{2} + v + 1 )} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot 3 (\int 1 d v + \int \frac{1}{3 ( v - 1 )} d v + \int \frac{- v - 2}{3 ( v ^{2} + v + 1 )} d v)

\int 1 d v = v

\int \frac{1}{3 ( v - 1 )} d v = \frac{1}{3} ln ∣ v - 1 ∣

\int \frac{- v - 2}{3 ( v ^{2} + v + 1 )} d v = \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 v^{2} + 4 v + 4 - 6 arctan (\frac{2 v + 1}{3}))

= \frac{1}{3} \cdot 3 (v + \frac{1}{3} ln ∣ v - 1 ∣ + \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 v^{2} + 4 v + 4 - 6 arctan (\frac{2 v + 1}{3})))

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} \cdot 3 (3 e^{3 x} - 1 + 1 + \frac{1}{3} ln 3 e^{3 x} - 1 + 1 - 1 + \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 (3 e^{3 x} - 1 + 1)^{2} + 4 3 e^{3 x} - 1 + 1 + 4 - 6 arctan (\frac{2 3 e ^{3 x} - 1 + 1 + 1}{3})))

Vereinfache

\frac{1}{3} \cdot 3 (3 e^{3 x} - 1 + 1 + \frac{1}{3} ln 3 e^{3 x} - 1 + 1 - 1 + \frac{1}{6 3} (- 3 ln 4 (3 e^{3 x} - 1 + 1)^{2} + 4 3 e^{3 x} - 1 + 1 + 4 - 6 arctan (\frac{2 3 e ^{3 x} - 1 + 1 + 1}{3}))) : e^{x} + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{x} + 1))

= e^{x} + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{x} + 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= e^{x} + \frac{1}{3} ln ∣ e^{x} - 1 ∣ - \frac{1}{6} ln 4 e^{2 x} + 4 e^{x} + 4 - \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (2 e^{x} + 1)) + C

\int (3 - x^{2})^{2} d x

\int x (x^{2} + 1)^{- 2} d x

\int \frac{2 x + 4}{( 3 x ^{2} + 12 x ) ^{5}} d x

\int cos (3 x) sin (5 x) d x

\int x^{4} + 3 x - 9 d x