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integral of 1/(sqrt((16+x^2)^4))

Lösung

\int \frac{1}{( 16 + x ^{2} ) ^{4}} d x

\frac{1}{128} (arctan (\frac{x}{4}) + \frac{4 x}{16 + x ^{2}}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 16 + x ^{2} ) ^{4}} d x

(16 + x^{2})^{4} = (16 + x^{2})^{2},

angenommen

(16 + x^{2}) \geq 0

= \int \frac{1}{( 16 + x ^{2} ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= \int \frac{1}{64 ( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{64} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{64} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{64} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{4})))

Vereinfache

\frac{1}{64} \cdot \frac{1}{2} (arctan (\frac{x}{4}) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (\frac{x}{4}))) : \frac{1}{128} (arctan (\frac{x}{4}) + \frac{4 x}{16 + x ^{2}})

= \frac{1}{128} (arctan (\frac{x}{4}) + \frac{4 x}{16 + x ^{2}})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{128} (arctan (\frac{x}{4}) + \frac{4 x}{16 + x ^{2}}) + C

\int \frac{x - 4}{x ^{3} + x ^{2} - 2 x} d x

\int sin^{2} (\frac{x}{4}) cos^{2} (\frac{x}{4}) d x

\int \frac{3}{3 x - 1} d x

\int 5 x ln (x) d x

\int \frac{t}{( 4 - t ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d t