integral of 5/(x^2-25)

Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} - 25} d x

- \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1 + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{x ^{2} - 25} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 25} d x

Wende integrale Substitution an

= 5 \cdot \int \frac{1}{5 ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 5 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{5} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 5 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{5}

ein

= 5 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln \frac{x}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{5} - 1}{2}))

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln \frac{x}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{5} - 1}{2})) : - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1

= - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 + \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1 + C

\int \frac{x ^{2} + 2 x + 3}{x ( x ^{2} + 1 )} d x

\int e^{x} cot^{8} (e^{x}) d x

\int \frac{10}{x ^{6}} - 2 e^{x} + 3 d x

\int sin (x) cot^{2} (x) d x

\int a x^{- 1} d x