integral of (25)/(x^2-25)

Lösung

\int \frac{25}{x ^{2} - 25} d x

- 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{25}{x ^{2} - 25} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \int \frac{1}{x ^{2} - 25} d x

Wende integrale Substitution an

= 25 \cdot \int \frac{1}{5 ( u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

u^{2} - 1 : - (- u^{2} + 1)

= 25 \cdot \frac{1}{5} \cdot \int \frac{1}{- ( - u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 25 \cdot \frac{1}{5} (- \int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- u ^{2} + 1} d u = \frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}

= 25 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln ∣ u + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ u - 1 ∣}{2}))

Setze in

u = \frac{x}{5}

ein

= 25 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln \frac{x}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{5} - 1}{2}))

Vereinfache

25 \cdot \frac{1}{5} (- (\frac{ln \frac{x}{5} + 1}{2} - \frac{ln \frac{x}{5} - 1}{2})) : - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1)

= - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 5 (\frac{1}{2} ln \frac{x}{5} + 1 - \frac{1}{2} ln \frac{x}{5} - 1) + C

\int \frac{1}{( x ^{2} - 1 )} d x

\int 1 - 3 x d x

\int (x^{3} + 6 x) (6 x^{2} + 12) d x

\int - tan (x) sec (x) d x

\int tan (3 x) sec^{2} (3 x) d x