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integral de (2sin(2x))/(1+cos(x))

Solución

\int \frac{2 sin ( 2 x )}{1 + cos ( x )} d x

- 4 (1 + cos (x) - ln ∣ 1 + cos (x) ∣) + C

Pasos de solución

\int \frac{2 sin ( 2 x )}{1 + cos ( x )} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{sin ( 2 x )}{1 + cos ( x )} d x

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= 2 \cdot \int \frac{2 cos ( x ) sin ( x )}{1 + cos ( x )} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int \frac{cos ( x ) sin ( x )}{1 + cos ( x )} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int - \frac{u}{1 + u} d u

= 2 \cdot 2 \cdot \int - \frac{u}{1 + u} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 (- \int \frac{u}{1 + u} d u)

Aplicar integración por sustitución

: \int \frac{v - 1}{v} d v

= 2 \cdot 2 (- \int \frac{v - 1}{v} d v)

Expandir

\frac{v - 1}{v} : 1 - \frac{1}{v}

= 2 \cdot 2 (- \int 1 - \frac{1}{v} d v)

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (- (\int 1 d v - \int \frac{1}{v} d v))

\int 1 d v = v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= 2 \cdot 2 (- (v - ln ∣ v ∣))

Sustitución hacia atrás

= 2 \cdot 2 (- (1 + cos (x) - ln ∣ 1 + cos (x) ∣))

Simplificar

= - 4 (1 + cos (x) - ln ∣ 1 + cos (x) ∣)

Agregar una constante a la solución

= - 4 (1 + cos (x) - ln ∣ 1 + cos (x) ∣) + C

\int - \frac{1}{3} d x

\int 2 \cdot e^{x} d x

\int \frac{cos ( 2 x )}{( 2 + 3 sin ( 2 x ) ) ^{3}} d x

\int x y e^{x^{2} y} d x

\int \frac{2 x ^{4} + 3}{x ^{3} - 3 x + 2} d x