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integral of xe^{-sqrt(x)}

解答

\int x e^{- x} d x

解答

2 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))) + C

求解步骤

\int x e^{- x} d x

使用换元积分法

= \int 2 e^{- u} u^{3} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int e^{- u} u^{3} d u

使用换元积分法

= 2 \cdot \int e^{v} v^{3} d v

使用分布积分法

= 2 (v^{3} e^{v} - \int 3 v^{2} e^{v} d v)

\int 3 v^{2} e^{v} d v = 3 (v^{2} e^{v} - 2 (e^{v} v - e^{v}))

= 2 (v^{3} e^{v} - 3 (v^{2} e^{v} - 2 (e^{v} v - e^{v})))

代回

= 2 ((- x)^{3} e^{- x} - 3 ((- x)^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x})))

化简

2 ((- x)^{3} e^{- x} - 3 ((- x)^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}))) : 2 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))

= 2 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))

解答补常数

= 2 (- e^{- x} x^{\frac{3}{2}} - 3 (e^{- x} x - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))) + C

作图

流行的例子

integral of (x^2)/((1-9x^2)^{3/2)}

\int \frac{x ^{2}}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

integral of (1/2 1/x+4sin(x))

\int (\frac{1}{2} \frac{1}{x} + 4 sin (x)) d x

integral of (2xe^x)

\int (2 x e^{x}) d x

integral of sqrt((1+x^3))

\int (1 + x^{3}) d x

integral of cos(x)(1+sin(x))

\int cos (x) (1 + sin (x)) d x