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integral of (x^2)/((1-9x^2)^{3/2)}

解答

\int \frac{x ^{2}}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

解答

\frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

求解步骤

\int \frac{x ^{2}}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

使用三角换元法

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{27} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{27} \cdot \int tan^{2} (u) d u

使用三角恒等式改写

= \frac{1}{27} \cdot \int - 1 + sec^{2} (u) d u

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{27} (- \int 1 d u + \int sec^{2} (u) d u)

\int 1 d u = u

\int sec^{2} (u) d u = tan (u)

= \frac{1}{27} (- u + tan (u))

u = arcsin (3 x)

代回

= \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + tan (arcsin (3 x)))

化简

\frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + tan (arcsin (3 x))) : \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

= \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}})

解答补常数

= \frac{1}{27} (- arcsin (3 x) + \frac{3 x}{( 1 - 9 x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}) + C

作图

流行的例子

integral of (1/2 1/x+4sin(x))

\int (\frac{1}{2} \frac{1}{x} + 4 sin (x)) d x

integral of (2xe^x)

\int (2 x e^{x}) d x

integral of sqrt((1+x^3))

\int (1 + x^{3}) d x

integral of cos(x)(1+sin(x))

\int cos (x) (1 + sin (x)) d x

integral of 2/((1+x)^2)

\int \frac{2}{( 1 + x ) ^{2}} d x