integral of 1/(5+4cos(θ))

Lösung

\int \frac{1}{5 + 4 cos ( θ )} d θ

\frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} tan (\frac{θ}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{5 + 4 cos ( θ )} d θ

Wende U-Substitution an

= \int \frac{2}{u ^{2} + 9} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 9} d u

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (v)

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( \frac{θ}{2} )}{3})

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( \frac{θ}{2} )}{3}) : \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} tan (\frac{θ}{2}))

= \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} tan (\frac{θ}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} arctan (\frac{1}{3} tan (\frac{θ}{2})) + C

\int 8 x (x^{2} + 1)^{3} d x

\int 3 x (2 x + 5)^{2} d x

\int \frac{( 7 x + 1 )}{x ^{2} - 7 x + 6} d x

\int (sec^{2} (x) tan^{3} (x)) d x

\int x^{2} - 2 x + 3 d x