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integral of 2sec^4(1/2 x)

Lösung

\int 2 sec^{4} (\frac{1}{2} x) d x

4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2})) + C

Schritte zur Lösung

\int 2 sec^{4} (\frac{1}{2} x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sec^{4} (\frac{1}{2} x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ^{4} ( \frac{x}{2} )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= 2 \cdot \int sec^{4} (\frac{x}{2}) d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int sec^{4} (u) \cdot 2 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int sec^{4} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot 2 \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot 2 \cdot \int 1 + v^{2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (\int 1 d v + \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= 2 \cdot 2 (v + \frac{v ^{3}}{3})

Ersetze zurück

= 2 \cdot 2 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{tan ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3})

Vereinfache

2 \cdot 2 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{tan ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3}) : 4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2}))

= 4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2})) + C

\int cos (x) + 2 cos^{2} (x) tan^{2} (x) d x

\int \frac{2 x - 16 x}{x ^{2} - 7 x} d x

\int x^{4} 3 + x^{5} d x

\int sec (x) (7 sec (x) + 6 tan (x)) d x

\int 7 x cos (x^{2} - 3) d x