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integral de 2sec^4(1/2 x)

Solución

\int 2 sec^{4} (\frac{1}{2} x) d x

Solución

4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2})) + C

Pasos de solución

\int 2 sec^{4} (\frac{1}{2} x) d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sec^{4} (\frac{1}{2} x) d x

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= 2 \cdot \int \frac{1}{cos ^{4} ( \frac{x}{2} )} d x

Utilizar la identidad trigonométrica básica:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= 2 \cdot \int sec^{4} (\frac{x}{2}) d x

Aplicar integración por sustitución

: \int sec^{4} (u) \cdot 2 d u

= 2 \cdot \int sec^{4} (u) \cdot 2 d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot 2 \cdot \int sec^{4} (u) d u

Re-escribir usando identidades trigonométricas

= 2 \cdot 2 \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) d u

Aplicar integración por sustitución

: \int 1 + v^{2} d v

= 2 \cdot 2 \cdot \int 1 + v^{2} d v

Aplicar la regla de la suma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot 2 (\int 1 d v + \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= 2 \cdot 2 (v + \frac{v ^{3}}{3})

Sustitución hacia atrás

= 2 \cdot 2 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{tan ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3})

Simplificar

2 \cdot 2 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{tan ^{3} ( \frac{x}{2} )}{3}) : 4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2}))

= 4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2}))

Agregar una constante a la solución

= 4 (tan (\frac{x}{2}) + \frac{1}{3} tan^{3} (\frac{x}{2})) + C

Ejemplos populares

integral de cos(x)+2cos^2(x)tan^2(x)

\int cos (x) + 2 cos^{2} (x) tan^{2} (x) d x

integral de (2x-16sqrt(x))/(x^2-7x)

\int \frac{2 x - 16 x}{x ^{2} - 7 x} d x

integral de x^4sqrt(3+x^5)

\int x^{4} 3 + x^{5} d x

integral de sec(x)(7sec(x)+6tan(x))

\int sec (x) (7 sec (x) + 6 tan (x)) d x

integral de 7xcos(x^2-3)

\int 7 x cos (x^{2} - 3) d x