интеграл от xe^{-x^3}

Решение

\int x e^{- x^{3}} d x

\frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} Γ \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Шаги решения

\int x e^{- x^{3}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{e ^{- u^{\frac{3}{2}}}}{2} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- u^{\frac{3}{2}}} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{2 e ^{v}}{3 v ^{\frac{2}{3}}} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot \int \frac{e ^{v}}{v ^{\frac{2}{3}}} d v)

v^{\frac{2}{3}} = 3 v,

предполагает

v \geq 0

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot \int \frac{e ^{v}}{3 v} d v)

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot \int 3 e^{w^{3}} w d w)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \int e^{w^{3}} w d w)

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \int \frac{e ^{t^{\frac{3}{2}}}}{2} d t)

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int e^{t^{\frac{3}{2}}} d t)

Используйте неэлементарный интеграл:

\int e^{x^{a}} d x = - \frac{x Γ ( \frac{1}{a} , - x ^{a} )}{a a - x ^{a}}

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{t Γ ( \frac{1}{\frac{3}{2}} , - t ^{\frac{3}{2}} )}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - t ^{\frac{3}{2}}}

Делаем обратную замену

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} Γ \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

Добавить константу к решению

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} Γ \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C