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integral of xe^{-x^3}

Lösung

\int x e^{- x^{3}} d x

Lösung

\frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} Γ \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int x e^{- x^{3}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{e ^{- u^{\frac{3}{2}}}}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int e^{- u^{\frac{3}{2}}} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{2 e ^{v}}{3 v ^{\frac{2}{3}}} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot \int \frac{e ^{v}}{v ^{\frac{2}{3}}} d v)

v^{\frac{2}{3}} = 3 v,

angenommen

v \geq 0

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot \int \frac{e ^{v}}{3 v} d v)

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot \int 3 e^{w^{3}} w d w)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \int e^{w^{3}} w d w)

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \int \frac{e ^{t^{\frac{3}{2}}}}{2} d t)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int e^{t^{\frac{3}{2}}} d t)

Das ist ein nicht elementares Integral :

\int e^{x^{a}} d x = - \frac{x Γ ( \frac{1}{a} , - x ^{a} )}{a a - x ^{a}}

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{t Γ ( \frac{1}{\frac{3}{2}} , - t ^{\frac{3}{2}} )}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - t ^{\frac{3}{2}}}

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} Γ \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} - \frac{( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} Γ \frac{1}{\frac{3}{2}} , - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2} \frac{3}{2} - ( ( 3 - ( x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}} ) ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} + C

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