integral of sin^2(ωt+φ)

Lösung

\int sin^{2} (ω t + φ) d t

\frac{φ}{2 ω} + \frac{t}{2} - \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω t)) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{2} (ω t + φ) d t

Wende U-Substitution an

= \int \frac{sin ^{2} ( u )}{ω} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ω} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{ω} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = φ + ω t

ein

= \frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (φ + ω t - \frac{1}{2} sin (2 (φ + ω t)))

Vereinfache

\frac{1}{ω} \cdot \frac{1}{2} (φ + ω t - \frac{1}{2} sin (2 (φ + ω t))) : \frac{φ}{2 ω} + \frac{t}{2} - \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω t))

= \frac{φ}{2 ω} + \frac{t}{2} - \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω t))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{φ}{2 ω} + \frac{t}{2} - \frac{1}{4 ω} sin (2 (φ + ω t)) + C

\int \frac{x ^{2} - 4}{x ^{3} - 12 x + 7} d x

\int (x^{2} + 3 x + 2) e^{2 x} d x

\int e^{x} sec^{2} (e^{x} - 7) d x

\int 6 t e^{- \frac{t}{6}} d t

\int \frac{( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{3}{2}}}{x ^{6}} d x