integral of 5/((9-x^2)^{5/2)}

Lösung

\int \frac{5}{( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

\frac{5 ( - 2 x ^{3} + 27 x )}{243 ( - x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5}{( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{1}{( 9 - x ^{2} ) ^{\frac{5}{2}}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 5 \cdot \int \frac{1}{81 cos ^{4} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \int \frac{1}{cos ^{4} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 5 \cdot \frac{1}{81} \cdot \int 1 + v^{2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 5 \cdot \frac{1}{81} (\int 1 d v + \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= 5 \cdot \frac{1}{81} (v + \frac{v ^{3}}{3})

Ersetze zurück

= 5 \cdot \frac{1}{81} (tan (arcsin (\frac{1}{3} x)) + \frac{tan ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{3} x ) )}{3})

Vereinfache

5 \cdot \frac{1}{81} (tan (arcsin (\frac{1}{3} x)) + \frac{tan ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{3} x ) )}{3}) : \frac{5 ( - 2 x ^{3} + 27 x )}{243 ( - x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}}

= \frac{5 ( - 2 x ^{3} + 27 x )}{243 ( - x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{5 ( - 2 x ^{3} + 27 x )}{243 ( - x ^{2} + 9 ) ^{\frac{3}{2}}} + C

\int cos (x) (1 + sin (x))^{3} d x

\int ln (1 + x^{2} + x) d x

\int (\frac{1}{7} - \frac{1}{y ^{\frac{5}{4}}}) d y

\int - 2 e^{3 y} d y

\int (cos (x) - 1) d x