intégrale de 1/((x^2+2^2)^{3/2)}

Solution

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

\frac{x}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

étapes des solutions

\int \frac{1}{( x ^{2} + 2 ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

x^{2} + 2^{2} = 2^{2} (\frac{x ^{2}}{2 ^{2}} + 1)

= \int \frac{1}{( 2 ^{2} ( \frac{x ^{2}}{2 ^{2}} + 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Simplifier

\frac{1}{( 2 ^{2} ( \frac{x ^{2}}{2 ^{2}} + 1 ) ) ^{\frac{3}{2}}} : \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}}

= \int \frac{1}{( x ^{2} + 4 ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Appliquer la subsitution trigonométrique

= \int \frac{1}{4 sec ( u )} d u

Extraire la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{4} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

= \frac{1}{4} \cdot \int cos (u) d u

Utiliser l'intégrale commune:

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{4} sin (u)

Remplacer

u = arctan (\frac{1}{2} x)

= \frac{1}{4} sin (arctan (\frac{1}{2} x))

Simplifier

\frac{1}{4} sin (arctan (\frac{1}{2} x)) : \frac{x}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{x}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Ajouter une constante à la solution

= \frac{x}{4 ( 4 + x ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int (x + x^{3}) e^{x} d x

\int (\frac{36 x ^{3} - 109 x ^{2} + 25}{3 x - 5}) d x

\int csc^{2} (a - b x) d x

\int 10 x (x^{2} + 1)^{4} d x

\int (3 x^{2} + x^{- 1}) d x