integral of sqrt(-x^2+2x)

Lösung

\int - x^{2} + 2 x d x

\frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int - x^{2} + 2 x d x

Vervollständige das Quadrat

- x^{2} + 2 x : - (x - 1)^{2} + 1

= \int - (x - 1)^{2} + 1 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 1 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

\int \frac{2 x ^{2} + x - 2}{x ^{3} - x ^{2} - 2 x} d x

\int arcsec (3 x) d x

\int \frac{1}{( 8 y - 3 ) ^{3}} d y

\int \frac{x ^{2}}{x ^{\frac{1}{2}}} d x

\int e^{- 4 x} sin (2 x) d x