integral of sin(pix)sin(2pix)

解答

\int sin (π x) sin (2 π x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} sin (3 π x) + \frac{1}{π} sin (π x)) + C

求解步骤

\int sin (π x) sin (2 π x) d x

使用三角恒等式改写

= \int \frac{1}{2} (- cos (3 π x) + cos (- π x)) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (3 π x) + cos (- π x) d x

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int cos (3 π x) d x + \int cos (- π x) d x)

\int cos (3 π x) d x = \frac{1}{3 π} sin (3 π x)

\int cos (- π x) d x = \frac{1}{π} sin (π x)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} sin (3 π x) + \frac{1}{π} sin (π x))

解答补常数

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{3 π} sin (3 π x) + \frac{1}{π} sin (π x)) + C

\int x^{\frac{1}{4}} + 1 d x

\int (\frac{sin ( x )}{1 + x ^{2}}) d x

\int x^{2} - 2 x - 1 d x

\int \frac{( x ^{2} + x )}{x} d x

\int x^{2} - 2 x - 4 d x