integral of xe^{-nx}

解答

\int x e^{- n x} d x

\frac{1}{n ^{2}} (- n e^{- n x} x - e^{- n x}) + C

求解步骤

\int x e^{- n x} d x

使用换元积分法

= \int \frac{e ^{u} u}{n ^{2}} d u

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{n ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

使用分布积分法

= \frac{1}{n ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= \frac{1}{n ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

u = - n x

代回

= \frac{1}{n ^{2}} (e^{- n x} (- n x) - e^{- n x})

化简

= \frac{1}{n ^{2}} (- n e^{- n x} x - e^{- n x})

解答补常数

= \frac{1}{n ^{2}} (- n e^{- n x} x - e^{- n x}) + C

\int \frac{( 2 x + 1 )}{x ^{2} + 2 x + 5} d x

\int \frac{x}{x ^{2} + 15} d x

\int e^{- (x - 4)} d x

\int 7^{5 x} d x

\int 8 x^{- \frac{2}{3}} - 2 x^{\frac{5}{3}} d x