integral of (3e^x)/(e^{2x)+9e^x+20}

Lösung

\int \frac{3 e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} + 20} d x

3 (ln ∣ e^{x} + 4 ∣ - ln ∣ e^{x} + 5 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{3 e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} + 20} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 3 \cdot \int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} + 20} d x

Wende U-Substitution an

= 3 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 9 u + 20} d u

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{u ^{2} + 9 u + 20} : \frac{1}{u + 4} - \frac{1}{u + 5}

= 3 \cdot \int \frac{1}{u + 4} - \frac{1}{u + 5} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 3 (\int \frac{1}{u + 4} d u - \int \frac{1}{u + 5} d u)

\int \frac{1}{u + 4} d u = ln ∣ u + 4 ∣

\int \frac{1}{u + 5} d u = ln ∣ u + 5 ∣

= 3 (ln ∣ u + 4 ∣ - ln ∣ u + 5 ∣)

Setze in

u = e^{x}

ein

= 3 (ln ∣ e^{x} + 4 ∣ - ln ∣ e^{x} + 5 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 3 (ln ∣ e^{x} + 4 ∣ - ln ∣ e^{x} + 5 ∣) + C

\int z sin (z) cos (z) d z

\int (x^{3} + 4) d x

\int (- sin (y)) d y

\int x 4 (x^{2} - 1)^{3} d x

\int d arctan (x) d x