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integral of sin(ln(sqrt(x)))

Lösung

\int sin (ln (x)) d x

2 (- \frac{1}{5} x cos (\frac{1}{2} ln (x)) + \frac{2}{5} x sin (\frac{1}{2} ln (x))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin (ln (x)) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin (ln (u)) \cdot 2 u d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int sin (ln (u)) u d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int e^{2 v} sin (v) d v

Wende die partielle Integration an

= 2 (- e^{2 v} cos (v) - \int - 2 e^{2 v} cos (v) d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- e^{2 v} cos (v) - (- 2 \cdot \int e^{2 v} cos (v) d v))

Wende die partielle Integration an

= 2 (- e^{2 v} cos (v) - (- 2 (e^{2 v} sin (v) - \int e^{2 v} \cdot 2 sin (v) d v)))

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- e^{2 v} cos (v) - (- 2 (e^{2 v} sin (v) - 2 \cdot \int e^{2 v} sin (v) d v)))

Deshalb

2 \cdot \int e^{2 v} sin (v) d v = 2 (- e^{2 v} cos (v) - (- 2 (e^{2 v} sin (v) - 2 \cdot \int e^{2 v} sin (v) d v)))

Isoliere

\int e^{2 v} sin (v) d v

= 2 (- \frac{e ^{2 v} cos ( v )}{5} + \frac{2 e ^{2 v} sin ( v )}{5})

Ersetze zurück

= 2 (- \frac{e ^{2 l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{5} + \frac{2 e ^{2 l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{5})

Vereinfache

2 (- \frac{e ^{2 l n (x)} cos ( ln ( x ) )}{5} + \frac{2 e ^{2 l n (x)} sin ( ln ( x ) )}{5}) : 2 (- \frac{1}{5} x cos (\frac{1}{2} ln (x)) + \frac{2}{5} x sin (\frac{1}{2} ln (x)))

= 2 (- \frac{1}{5} x cos (\frac{1}{2} ln (x)) + \frac{2}{5} x sin (\frac{1}{2} ln (x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 (- \frac{1}{5} x cos (\frac{1}{2} ln (x)) + \frac{2}{5} x sin (\frac{1}{2} ln (x))) + C

\int (7 x^{8} + \frac{2}{3} x^{4} - x + 4) d x

\int \frac{2 x ^{2}}{1 + x ^{3}} d x

\int \frac{1}{x ^{2} + 2 x + 8} d x

\int 5 + 4 x d x

\int \frac{sin ( 2 x )}{x} d x