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integral of 24sin^7(3x)cos^3(3x)

Lösung

\int 24 sin^{7} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

- 2 cos^{4} (3 x) + 4 cos^{6} (3 x) - 3 cos^{8} (3 x) + \frac{4}{5} cos^{10} (3 x) + C

Schritte zur Lösung

\int 24 sin^{7} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \int sin^{7} (3 x) cos^{3} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= 24 \cdot \int sin^{7} (u) cos^{3} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int sin^{7} (u) cos^{3} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 24 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int (1 - cos^{2} (u))^{3} sin (u) cos^{3} (u) d u

Wende U-Substitution an

= 24 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int - v^{3} (1 - v^{2})^{3} d v

Multipliziere aus

- v^{3} (1 - v^{2})^{3} : - v^{3} + 3 v^{5} - 3 v^{7} + v^{9}

= 24 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int - v^{3} + 3 v^{5} - 3 v^{7} + v^{9} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 24 \cdot \frac{1}{3} (- \int v^{3} d v + \int 3 v^{5} d v - \int 3 v^{7} d v + \int v^{9} d v)

\int v^{3} d v = \frac{v ^{4}}{4}

\int 3 v^{5} d v = \frac{v ^{6}}{2}

\int 3 v^{7} d v = \frac{3 v ^{8}}{8}

\int v^{9} d v = \frac{v ^{10}}{10}

= 24 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{v ^{4}}{4} + \frac{v ^{6}}{2} - \frac{3 v ^{8}}{8} + \frac{v ^{10}}{10})

Ersetze zurück

= 24 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{2} - \frac{3 cos ^{8} ( 3 x )}{8} + \frac{cos ^{10} ( 3 x )}{10})

Vereinfache

24 \cdot \frac{1}{3} (- \frac{cos ^{4} ( 3 x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( 3 x )}{2} - \frac{3 cos ^{8} ( 3 x )}{8} + \frac{cos ^{10} ( 3 x )}{10}) : - 2 cos^{4} (3 x) + 4 cos^{6} (3 x) - 3 cos^{8} (3 x) + \frac{4}{5} cos^{10} (3 x)

= - 2 cos^{4} (3 x) + 4 cos^{6} (3 x) - 3 cos^{8} (3 x) + \frac{4}{5} cos^{10} (3 x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 cos^{4} (3 x) + 4 cos^{6} (3 x) - 3 cos^{8} (3 x) + \frac{4}{5} cos^{10} (3 x) + C

\int \frac{3 x ^{2} + 4 x + 2}{( x + 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )} d x

\int \frac{e ^{- r}}{r} d r

\int 7 x + 3 d x

\int \frac{15}{16 + x ^{2}} d x

\int \frac{2 x}{1 + 2 x} d x