integral de ye^{y/x}

Solución

\int y e^{\frac{y}{x}} d x

- y^{2} (- \frac{e ^{\frac{y}{x}} x}{y} + Ei (\frac{y}{x})) + C

Pasos de solución

\int y e^{\frac{y}{x}} d x

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y \cdot \int e^{\frac{y}{x}} d x

Aplicar integración por sustitución

: \int - \frac{y e ^{u}}{u ^{2}} d u

= y \cdot \int - \frac{y e ^{u}}{u ^{2}} d u

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y (- y \cdot \int \frac{e ^{u}}{u ^{2}} d u)

Aplicar integración por partes

: - \frac{e ^{u}}{u} - \int - \frac{e ^{u}}{u} d u

= y (- y (- \frac{e ^{u}}{u} - \int - \frac{e ^{u}}{u} d u))

Sacar la constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y (- y (- \frac{e ^{u}}{u} - (- \int \frac{e ^{u}}{u} d u)))

Esta es una integral no elemental:

\int \frac{e ^{x}}{x} d x = Ei (x)

= y (- y (- \frac{e ^{u}}{u} - (- Ei (u))))

Sustituir en la ecuación

u = \frac{y}{x}

= y (- y (- \frac{e ^{\frac{y}{x}}}{\frac{y}{x}} - (- Ei (\frac{y}{x}))))

Simplificar

y (- y (- \frac{e ^{\frac{y}{x}}}{\frac{y}{x}} - (- Ei (\frac{y}{x})))) : - y^{2} (- \frac{e ^{\frac{y}{x}} x}{y} + Ei (\frac{y}{x}))

= - y^{2} (- \frac{e ^{\frac{y}{x}} x}{y} + Ei (\frac{y}{x}))

Agregar una constante a la solución

= - y^{2} (- \frac{e ^{\frac{y}{x}} x}{y} + Ei (\frac{y}{x})) + C

\int (\frac{1}{( 3 x ) ^{2}} + 3) d x

\int 3 e^{x} + 6 sec^{2} (x) d x

\int \frac{1}{3} e^{3 y} d y

\int (1 + x^{2})^{10} d x

\int x^{3} x^{4} + 16 d x