интеграл от 1/((x+1)^2+9)

Решение

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} + 9} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 1)) + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( x + 1 ) ^{2} + 9} d x

(x + 1)^{2} + 9 = 9 (\frac{( x + 1 ) ^{2}}{9} + 1)

= \int \frac{1}{9 ( \frac{( x + 1 ) ^{2}}{9} + 1 )} d x

Примените правило возведения в степень:

\frac{a ^{n}}{b ^{n}} = (\frac{a}{b})^{n}

\frac{( x + 1 ) ^{2}}{9} = (\frac{1}{3} (x + 1))^{2}

= \int \frac{1}{9 ( ( \frac{1}{3} ( x + 1 ) ) ^{2} + 1 )} d x

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{( \frac{1}{3} ( x + 1 ) ) ^{2} + 1} d x

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{9}{u ^{2} + 9} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot 9 \cdot \int \frac{1}{u ^{2} + 9} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{9} \cdot 9 \cdot \int \frac{1}{3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Использовать общий интеграл:

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= \frac{1}{9} \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} arctan (v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{9} \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{x + 1}{3})

Упростите

\frac{1}{9} \cdot 9 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{x + 1}{3}) : \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 1))

= \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 1))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{3} arctan (\frac{1}{3} (x + 1)) + C