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人気のある微分積分 >

integral of (a^2)/(sqrt(4a-a^2))

解

\int \frac{a ^{2}}{4 a - a ^{2}} d a

解

6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a + C

解答ステップ

\int \frac{a ^{2}}{4 a - a ^{2}} d a

平方完成する

4 a - a^{2} : - (a - 2)^{2} + 4

= \int \frac{a ^{2}}{- ( a - 2 ) ^{2} + 4} d a

u置換積分法を適用する

= \int \frac{( u + 2 ) ^{2}}{- u ^{2} + 4} d u

三角関数による置換を適用する

= \int (2 sin (v) + 2)^{2} d v

拡張

(2 sin (v) + 2)^{2} : 4 sin^{2} (v) + 8 sin (v) + 4

= \int 4 sin^{2} (v) + 8 sin (v) + 4 d v

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int 4 sin^{2} (v) d v + \int 8 sin (v) d v + \int 4 d v

\int 4 sin^{2} (v) d v = 2 v - sin (2 v)

\int 8 sin (v) d v = - 8 cos (v)

\int 4 d v = 4 v

= 2 v - sin (2 v) - 8 cos (v) + 4 v

代用を戻す

= 2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2)) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) - 8 cos (arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) + 4 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))

簡素化

2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2)) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) - 8 cos (arcsin (\frac{1}{2} (a - 2))) + 4 arcsin (\frac{1}{2} (a - 2)) : 6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a

= 6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a

定数を解答に追加する

= 6 arcsin (\frac{1}{2} a - 1) - sin (2 arcsin (\frac{1}{2} a - 1)) - 4 - a^{2} + 4 a + C

グラフ

人気の例

integral of 2\sqrt[3]{x^4}

\int 2 3 x^{4} d x

integral of 2/(4+2x)

\int \frac{2}{4 + 2 x} d x

integral of x/((4x^2+9)^2)

\int \frac{x}{( 4 x ^{2} + 9 ) ^{2}} d x

integral of (8x)/(sqrt(x^2+2))

\int \frac{8 x}{x ^{2} + 2} d x

integral of (3sin(x)-4cos(x))

\int (3 sin (x) - 4 cos (x)) d x