интеграл от 1/((sqrt(9+x^2))^3)

Решение

\int \frac{1}{( 9 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\frac{x}{9 9 + x ^{2}} + C

Шаги решения

\int \frac{1}{( 9 + x ^{2} ) ^{3}} d x

Примените правило возведения в степень:

(a^{n})^{m} = a^{n \cdot m}

(9 + x^{2})^{3} = (9 + x^{2})^{\frac{3}{2}}

= \int \frac{1}{( 9 + x ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Умножьте на сопряженное

9 + x^{2} : \frac{81 - x ^{4}}{9 - x ^{2}}

= \int \frac{1}{( \frac{81 - x ^{4}}{9 - x ^{2}} ) ^{\frac{3}{2}}} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{1}{9 ( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{( u ^{2} + 1 ) ^{\frac{3}{2}}} d u

Примените тригонометрическую подстановку

: \int cos (v) d v

= \frac{1}{9} \cdot \int cos (v) d v

Использовать общий интеграл:

\int cos (v) d v = sin (v)

= \frac{1}{9} sin (v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{9} sin (arctan (\frac{x}{3}))

Упростите

\frac{1}{9} sin (arctan (\frac{x}{3})) : \frac{x}{9 9 + x ^{2}}

= \frac{x}{9 9 + x ^{2}}

Добавить константу к решению

= \frac{x}{9 9 + x ^{2}} + C