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integral of (6x^2)/(sqrt(9-2x^2))

Lösung

\int \frac{6 x ^{2}}{9 - 2 x ^{2}} d x

\frac{27}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{6 x ^{2}}{9 - 2 x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \int \frac{x ^{2}}{9 - 2 x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= 6 \cdot \int \frac{9 sin ^{2} ( u )}{2 2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \int sin^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \int \frac{1 - cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 - cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u - \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= 6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = arcsin (\frac{2}{3} x)

ein

= 6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x)))

Vereinfache

6 \cdot \frac{9}{2 2} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x))) : \frac{27}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x)))

= \frac{27}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{27}{2 2} (arcsin (\frac{2}{3} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{2}{3} x))) + C

\int (3 tan (x))^{3} sec (x) d x

\int 2 x^{3} ln (5 x) d x

\int s^{2} cos (s^{3}) d s

\int \frac{2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{3}} d x

\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} ( x + 1 ) ^{2}} d x