integral of (cos(2x-1))/(e^x)

解

\int \frac{cos ( 2 x - 1 )}{e ^{x}} d x

cos (1) (\frac{4}{5} e^{- x} cos (2 x) + \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x) - \frac{2 cos ^{2} ( x )}{e ^{x}} + \frac{1}{e ^{x}}) + (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5}) sin (1) + C

解答ステップ

\int \frac{cos ( 2 x - 1 )}{e ^{x}} d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{cos ( 2 x ) cos ( 1 ) + sin ( 2 x ) sin ( 1 )}{e ^{x}} d x

拡張

\frac{cos ( 2 x ) cos ( 1 ) + sin ( 2 x ) sin ( 1 )}{e ^{x}} : \frac{cos ( 1 ) cos ( 2 x )}{e ^{x}} + \frac{sin ( 1 ) sin ( 2 x )}{e ^{x}}

= \int \frac{cos ( 1 ) cos ( 2 x )}{e ^{x}} + \frac{sin ( 1 ) sin ( 2 x )}{e ^{x}} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{cos ( 1 ) cos ( 2 x )}{e ^{x}} d x + \int \frac{sin ( 1 ) sin ( 2 x )}{e ^{x}} d x

\int \frac{cos ( 1 ) cos ( 2 x )}{e ^{x}} d x = cos (1) (\frac{4}{5} e^{- x} cos (2 x) + \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x) - \frac{2 cos ^{2} ( x )}{e ^{x}} + \frac{1}{e ^{x}})

\int \frac{sin ( 1 ) sin ( 2 x )}{e ^{x}} d x = (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5}) sin (1)

= cos (1) (\frac{4}{5} e^{- x} cos (2 x) + \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x) - \frac{2 cos ^{2} ( x )}{e ^{x}} + \frac{1}{e ^{x}}) + (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5}) sin (1)

定数を解答に追加する

= cos (1) (\frac{4}{5} e^{- x} cos (2 x) + \frac{2}{5} e^{- x} sin (2 x) - \frac{2 cos ^{2} ( x )}{e ^{x}} + \frac{1}{e ^{x}}) + (- \frac{2 e ^{- x} cos ( 2 x )}{5} - \frac{e ^{- x} sin ( 2 x )}{5}) sin (1) + C