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integral of sqrt(4x^2+4x-3)

Lösung

\int 4 x^{2} + 4 x - 3 d x

- ln x + \frac{1}{2} 4 x^{2} + 4 x - 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (2 x + 1) 4 x^{2} + 4 x - 3 + C

Schritte zur Lösung

\int 4 x^{2} + 4 x - 3 d x

Vervollständige das Quadrat

4 x^{2} + 4 x - 3 : 4 (x + \frac{1}{2})^{2} - 4

= \int 4 (x + \frac{1}{2})^{2} - 4 d x

Wende U-Substitution an

= \int 2 u^{2} - 1 d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int u^{2} - 1 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= 2 \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= 2 (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= 2 (- ln tan (arcsec (x + \frac{1}{2})) + sec (arcsec (x + \frac{1}{2})) + \frac{1}{2} sec (arcsec (x + \frac{1}{2})) tan (arcsec (x + \frac{1}{2})) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (x + \frac{1}{2})) + sec (arcsec (x + \frac{1}{2})))

Vereinfache

2 (- ln tan (arcsec (x + \frac{1}{2})) + sec (arcsec (x + \frac{1}{2})) + \frac{1}{2} sec (arcsec (x + \frac{1}{2})) tan (arcsec (x + \frac{1}{2})) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (x + \frac{1}{2})) + sec (arcsec (x + \frac{1}{2}))) : - ln x + \frac{1}{2} 4 x^{2} + 4 x - 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (2 x + 1) 4 x^{2} + 4 x - 3

= - ln x + \frac{1}{2} 4 x^{2} + 4 x - 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (2 x + 1) 4 x^{2} + 4 x - 3

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln x + \frac{1}{2} 4 x^{2} + 4 x - 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} (2 x + 1) 4 x^{2} + 4 x - 3 + C

\int (x^{b} - x^{- b})^{2} d x

\int \frac{e ^{7 x}}{e ^{7 x} + 7} d x

\int \frac{1}{( x ^{2} + 25 )} d x

\int \frac{1 + x ^{2}}{5 x} d x

\int \frac{1}{3 + x ^{3}} d y