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integral of sqrt(-x^2+4x)

Lösung

\int - x^{2} + 4 x d x

2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1)) + C

Schritte zur Lösung

\int - x^{2} + 4 x d x

Vervollständige das Quadrat

- x^{2} + 4 x : - (x - 2)^{2} + 4

= \int - (x - 2)^{2} + 4 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 4 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 4 cos^{2} (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 4 \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2))))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} (x - 2)) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} (x - 2)))) : 2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1))

= 2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1) + sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x - 1)) + C

\int 6 x - \frac{3}{x} d x

in t e g r a l cos (6 x)

\int \frac{x - 4}{x ^{3}} d x

\int \frac{5 x ^{2} - 33 x + 54}{( x - 2 ) ( x - 4 ) ^{2}} d x

\int ln ((x + 1)^{3}) d x