integral of 2/((x+1)(3x+5))

Lösung

\int \frac{2}{( x + 1 ) ( 3 x + 5 )} d x

- ln ∣ 3 x + 5 ∣ + ln ∣ 3 x + 3 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{( x + 1 ) ( 3 x + 5 )} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( x + 1 ) ( 3 x + 5 )} d x

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{u ( u - 2 )} d u

Vervollständige das Quadrat

u (u - 2) : (u - 1)^{2} - 1

= 2 \cdot \int \frac{1}{( u - 1 ) ^{2} - 1} d u

Wende U-Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} - 1} d v

Faktorisiere

v^{2} - 1 : - (- v^{2} + 1)

= 2 \cdot \int \frac{1}{- ( - v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 (- \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 2 (- (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= 2 (- (\frac{ln ∣ 3 x + 5 - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ 3 x + 5 - 1 - 1 ∣}{2}))

Vereinfache

2 (- (\frac{ln ∣ 3 x + 5 - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ 3 x + 5 - 1 - 1 ∣}{2})) : - ln ∣ 3 x + 5 ∣ + ln ∣ 3 x + 3 ∣

= - ln ∣ 3 x + 5 ∣ + ln ∣ 3 x + 3 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - ln ∣ 3 x + 5 ∣ + ln ∣ 3 x + 3 ∣ + C

\int 6 - 4 x d x

\int 12 x^{\frac{5}{7}} + 5 x^{- \frac{6}{7}} d x

\int (7 x + 3)^{5} d x

\int x \cdot e^{x} \cdot cos (x) d x

\int \frac{1}{3 x ^{2} - 5 x + 4} d x