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integral of e^{-ax}cos(wx)

解答

\int e^{- a x} cos (w x) d x

解答

\frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} + C

求解步骤

\int e^{- a x} cos (w x) d x

使用分布积分法

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - \int - a e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- a \frac{1}{w} \cdot \int e^{- a x} sin (w x) d x)

化简

- a \frac{1}{w} : - \frac{a}{w}

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} sin (w x) d x)

使用分布积分法

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \int a e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) d x))

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - a \frac{1}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

化简

a \frac{1}{w} : \frac{a}{w}

= e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

因此

\int e^{- a x} cos (w x) d x = e^{- a x} \frac{1}{w} sin (w x) - (- \frac{a}{w} (- e^{- a x} \frac{1}{w} cos (w x) - \frac{a}{w} \cdot \int e^{- a x} cos (w x) d x))

整理

\int e^{- a x} cos (w x) d x

= \frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}}

解答补常数

= \frac{w e ^{- a x} sin ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} - \frac{a e ^{- a x} cos ( w x )}{w ^{2} + a ^{2}} + C

作图

流行的例子

integral of 1/(xln(a))

\int \frac{1}{x ln ( a )} d x

integral of (2x-1)/(x-x^2)

\int \frac{2 x - 1}{x - x ^{2}} d x

integral of (2x)/(sqrt(x)+3)

\int \frac{2 x}{x + 3} d x

integral of sqrt(1+cos^2(x))sin(2x)cos(2x)

\int 1 + cos^{2} (x) sin (2 x) cos (2 x) d x

integral of (x^3+x^2)^7(3x^2+2x)

\int (x^{3} + x^{2})^{7} (3 x^{2} + 2 x) d x