integral of (x^3-a^3)^5

解

\int (x^{3} - a^{3})^{5} d x

\frac{x ^{16}}{16} - \frac{5 a ^{3} x ^{13}}{13} + a^{6} x^{10} - \frac{10 a ^{9} x ^{7}}{7} + \frac{5 a ^{12} x ^{4}}{4} - a^{15} x + C

解答ステップ

\int (x^{3} - a^{3})^{5} d x

拡張

(x^{3} - a^{3})^{5} : x^{15} - 5 a^{3} x^{12} + 10 a^{6} x^{9} - 10 a^{9} x^{6} + 5 a^{12} x^{3} - a^{15}

= \int x^{15} - 5 a^{3} x^{12} + 10 a^{6} x^{9} - 10 a^{9} x^{6} + 5 a^{12} x^{3} - a^{15} d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int x^{15} d x - \int 5 a^{3} x^{12} d x + \int 10 a^{6} x^{9} d x - \int 10 a^{9} x^{6} d x + \int 5 a^{12} x^{3} d x - \int a^{15} d x

\int x^{15} d x = \frac{x ^{16}}{16}

\int 5 a^{3} x^{12} d x = \frac{5 a ^{3} x ^{13}}{13}

\int 10 a^{6} x^{9} d x = a^{6} x^{10}

\int 10 a^{9} x^{6} d x = \frac{10 a ^{9} x ^{7}}{7}

\int 5 a^{12} x^{3} d x = \frac{5 a ^{12} x ^{4}}{4}

\int a^{15} d x = a^{15} x

= \frac{x ^{16}}{16} - \frac{5 a ^{3} x ^{13}}{13} + a^{6} x^{10} - \frac{10 a ^{9} x ^{7}}{7} + \frac{5 a ^{12} x ^{4}}{4} - a^{15} x

定数を解答に追加する

= \frac{x ^{16}}{16} - \frac{5 a ^{3} x ^{13}}{13} + a^{6} x^{10} - \frac{10 a ^{9} x ^{7}}{7} + \frac{5 a ^{12} x ^{4}}{4} - a^{15} x + C