integral of 1/(x^2+1+x)

Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 1 + x} d x

\frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{2} + 1 + x} d x

Vervollständige das Quadrat

x^{2} + 1 + x : (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

= \int \frac{1}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{3}{4}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{4}{4 u ^{2} + 3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{4 u ^{2} + 3} d u

Wende integrale Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 3 ( v ^{2} + 1 )} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (v)

Ersetze zurück

= 4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2}))

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{2 3} arctan (\frac{2}{3} (x + \frac{1}{2})) : \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3})

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{3} arctan (\frac{2 x + 1}{3}) + C

\int \frac{x ^{3} + 2}{x} d x

\int (2 x - 3)^{2014} d x

\int sec (x) cot^{2} (x) d x

\int - e^{2 x} cos (e^{x}) d x

\int \frac{1}{3 x ^{2} - x + 1} d x