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integral of 1/(1+2cos^2(x))

Lösung

\int \frac{1}{1 + 2 cos ^{2} ( x )} d x

\frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{1 + 2 cos ^{2} ( x )} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1}{cos ( 2 x ) + 2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( cos ( u ) + 2 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{cos ( u ) + 2} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2}{v ^{2} + 3} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{v ^{2} + 3} d v

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \int \frac{1}{3 ( w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (w)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{3})

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( \frac{2 x}{2} )}{3}) : \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3})

= \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} arctan (\frac{tan ( x )}{3}) + C

\int \frac{cos ( 4 x )}{sin ^{2} ( 4 x )} d x

\int 8 y - \frac{2}{y ^{\frac{1}{4}}} d y

\int \frac{x}{( x + 1 ) ^{5}} d x

\int \frac{7}{2 x ^{2}} d x

\int \frac{1}{cos ( 2 x ) - 1} d x