integral of cos^2(kz-wt)

Lösung

\int cos^{2} (k z - wt) d t

\frac{t}{2} - \frac{z k}{2 w} - \frac{1}{4 w} sin (2 (- wt + z k)) + C

Schritte zur Lösung

\int cos^{2} (k z - wt) d t

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{cos ^{2} ( u )}{w} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{w} \cdot \int cos^{2} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= - \frac{1}{w} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (2 u) d u)

\int 1 d u = u

\int cos (2 u) d u = \frac{1}{2} sin (2 u)

= - \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} (u + \frac{1}{2} sin (2 u))

Setze in

u = - wt + z k

ein

= - \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} (- wt + z k + \frac{1}{2} sin (2 (- wt + z k)))

Vereinfache

- \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} (- wt + z k + \frac{1}{2} sin (2 (- wt + z k))) : \frac{t}{2} - \frac{z k}{2 w} - \frac{1}{4 w} sin (2 (- wt + z k))

= \frac{t}{2} - \frac{z k}{2 w} - \frac{1}{4 w} sin (2 (- wt + z k))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{t}{2} - \frac{z k}{2 w} - \frac{1}{4 w} sin (2 (- wt + z k)) + C

\int cos (x) sin (x) tan (x) d x

\int \frac{( 2 x ^{2} - x + 4 )}{( x ^{3} + 4 x )} d x

\int (x \cdot e^{x^{2}}) d x

\int \frac{1 - x}{x} d x

\int (12 x^{2} - 7 x + 2) d x