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integral of sqrt(1-(x-2)^2)

解答

\int 1 - (x - 2)^{2} d x

解答

\frac{1}{2} (arcsin (x - 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 2))) + C

求解步骤

\int 1 - (x - 2)^{2} d x

乘开

1 - (x - 2)^{2} : - x^{2} + 4 x - 3

= \int - x^{2} + 4 x - 3 d x

对

- x^{2} + 4 x - 3

配方:

- (x - 2)^{2} + 1

= \int - (x - 2)^{2} + 1 d x

使用换元积分法

= \int - u^{2} + 1 d u

使用三角换元法

= \int cos^{2} (v) d v

使用三角恒等式改写

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

使用积分加法定则:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

代回

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 2)))

解答补常数

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 2) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 2))) + C

作图

流行的例子

integral of e^{ln(5x)}

\int e^{l n (5 x)} d x

integral of (xye^{xy}+2y-1/(x^2))

\int (x y e^{x y} + 2 y - \frac{1}{x ^{2}}) d y

integral of (5x^4+9x^2+3)/(x(x^2+1)^2)

\int \frac{5 x ^{4} + 9 x ^{2} + 3}{x ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

integral of (4x^3-1)

\int (4 x^{3} - 1) d x

integral of 2^{3x+5}

\int 2^{3 x + 5} d x