integral of x^2ye^{-yx}

解

\int x^{2} y e^{- y x} d x

- e^{- y x} x^{2} + \frac{2 ( - y e ^{- y x} x - e ^{- y x} )}{y ^{2}} + C

解答ステップ

\int x^{2} y e^{- y x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= y \cdot \int e^{- y x} x^{2} d x

部分積分を適用する

= y (- e^{- y x} \frac{1}{y} x^{2} - \int - e^{- y x} \frac{2}{y} x d x)

\int - e^{- y x} \frac{2}{y} x d x = - \frac{2}{y ^{3}} (- y e^{- y x} x - e^{- y x})

= y (- e^{- y x} \frac{1}{y} x^{2} - (- \frac{2}{y ^{3}} (- y e^{- y x} x - e^{- y x})))

簡素化

y (- e^{- y x} \frac{1}{y} x^{2} - (- \frac{2}{y ^{3}} (- y e^{- y x} x - e^{- y x}))) : - e^{- y x} x^{2} + \frac{2 ( - y e ^{- y x} x - e ^{- y x} )}{y ^{2}}

= - e^{- y x} x^{2} + \frac{2 ( - y e ^{- y x} x - e ^{- y x} )}{y ^{2}}

定数を解答に追加する

= - e^{- y x} x^{2} + \frac{2 ( - y e ^{- y x} x - e ^{- y x} )}{y ^{2}} + C